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【文系の数学やり直し】数学I　実数の分類、根号・絶対値の計算　その１

文系の数学やり直し

■はじめに

やり直しの数学。本日は実数の分類、根号・絶対値の計算　その１です。

■前提

前提とマインドセットはいつもの通りなので省略。

■実数の分類

※単純な書き起こしになるので省略

■平方根の計算

１

$a>0、b>0のとき\\ \sqrt{a}=a$

２

$\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a \times b}$

３

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{b}{a}}$

■２つの分数の四則計算

１　足し算

$a \neq 0、b \neq 0、c \neq 0 \\ \frac{b}{a}+\frac{d}{c}=\frac{b \times c + a \times d}{a \times c}$

２　引き算

$\frac{b}{a}-\frac{d}{c}=\frac{b \times c - a \times d}{a \times c}$

３　掛け算

$\frac{b}{a} \times \frac{d}{c}=\frac{b \times d}{a \times c}$

４　割り算

$\frac{b}{a} \times \frac{d}{c}=\frac{b \times c}{a \times d}$

■演習

次の繁分数を簡単にせよ。
(1)

$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5+\sqrt{7}}{9}}$

(2)

$\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}-1}}}$

■解答

(1)

分子と分母で分解して解いてみる

$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5+\sqrt{7}}{9}}\\ =\frac{2}{3} \div {\frac{5+\sqrt{7}}{9}}\\ =\frac{2}{3} \times {\frac{9}{5+\sqrt{7}}}\\ =\frac{2 \times 9}{3 \times (5+\sqrt{7})}$

3倍は打ち消すので

$=\frac{2 \times 3}{5+\sqrt{7}}\\ =\frac{6}{5+\sqrt{7}}\\$

分母を有理化する

$=\frac{6(5-\sqrt{7})}{(5+\sqrt{7})(5-\sqrt{7})}\\ =\frac{6(5-\sqrt{7})}{25-7}\\ =\frac{6(5-\sqrt{7})}{18}\\ =\frac{5-\sqrt{7}}{3}\\$

→○
なんだけど、わざわざこんな面倒なことしなくても、分子の分母は下に行き、分母の分母は上に行く、という具合に途中式を省略できるようでした。

(2)

降参。→×

$\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}-1}}}$

どうやる？まずは通分をする。

$1+\frac{1}{\sqrt{2}-1}\\ =\frac{(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)}+\frac{1}{(\sqrt{2}-1)}\\ =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\\$

結果こうなる。

$\frac{1}{1-\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}}}$

ここで繁分数で計算する。

$\sqrt{2}-1を分子に持ってくる。\\ \frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}$

更に通分する。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}\\ =\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

更に繁分数で計算する。

$\sqrt{2}を分子に持ってくる。\\ \frac{\sqrt{2}}{1}\\ =\sqrt{2}$

これは繰り返しやって覚えるしかないなー。
繁分数がウィークポイント。

ではでは。