【文系の数学やり直し】数学I　命題の逆・裏・対偶・背理法　その２　背理法編

■はじめに

昨日と同様、命題と命題の逆・裏・対偶・背理法の学習です。

前提とマインドセットはいつもの通りなので省略。

www.mathema.jp

理屈はわかる。
わかるんだけど、練習問題がさっぱりわからなかったです。
なぜか。

まず前提として参考書には背理法による証明法は以下だと書かれています。

命題"p⇒q"や、命題"qである"が真であることを示すには、まず、qではないと仮定して、矛盾を導く

うん、これはわかる。
で、それを踏まえた練習問題が以下。

$互いに異なる実数a,bが、a^2-2b^2=0…①をみたすものとする。\\ b \neq 0を示して、\frac{a}{b}の値を求めよ。$

？？？？？

何がわからないか。

それは、この問題文のどの部分がqなの？って部分に集約されます。
命題の構成がよくわからないのと、その命題の中のqがどの部分なのか不明なので、背理法をどう適用すればいいのかがさっぱりでした。

その上で参考書では問題文の直下に、

b=0と仮定して、矛盾を導くのが背理法なんだね。頑張ろう！

って書いてあるんだけど、むしろなんでそこをそう仮定したのかがわからないので、模範解答を見た後もさっぱりでした。
これじゃ背理法の練習問題にならないのでは。。？
（模範解答では、b=0とすると、a=0となり、a=b=0でお互いに異なる実数が成立しないって書かれている）

というわけで次にボクがよくすがるのが、美しい高校数学のサイト。
背理法の記述を読みました。

mathtrain.jp
例題を引用します。

$\sqrt{2}が無理数であることを証明せよ。$

$a と b は互いに素な正の整数とする。\\ 0,a,2a,⋯,(b−1)a を b で割った余りは全て異なることを証明せよ。$

そうそう、問題文が「証明せよ」って書いてあるからqの部分がどこかわかる。

さらに自身の理解を深める為に、これまたよく見る動画「超わかる！高校数学」の背理法動画を確認。

www.youtube.com

これはマジでわかりやすい！
自然に無理数＝有理数の状態を作っているので納得感も大きい。

というわけで、この章に関してはちょっと別の問題集などで整理しながら理解した方が良いかな、と思いました。

ではでは。