【文系の数学やり直し】数学I　乗法公式・因数分解の公式その３

■はじめに

やり直しの数学。本日は乗法公式・因数分解の公式、その３です。

■前提

前提とマインドセットはいつもの通りなので省略。

www.mathema.jp

■復習

まずは前回の不正解のおさらいを少し。

次の式を因数分解せよ。

(1)

$x(x+1)(x+2)(x+3)-3$

-3を含む式に再構築するのでした。
なので

$x(x+3)=x^2+3x \\ (x+1)(x+2)=x^2+3x+2 \\ x^2+3x=Aとする$

これで準備完了。

$A(A+2)-3 \\ =A^2+2A-3 \\ =(A+3)(A-1) \\$

Aを展開して

$(x^2+3x+3)(x^2+3x-1) \\$

(3)

$ax^2-(a^2+2a-1)x-a-2$

これは公式６を使えば解ける。

$-(a^2+2a-1) \\ =-1 \times (a \times \{-a-2\}) + (-1 \times \{1 \times 1\})$

と読み解けるので

$a=a \\ c=1 \\ b=1 \\ d=-a-2 \\$

よって

$(ax+1)(x-a-2)$

となる。

■乗法公式（因数分解公式）

７

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

８

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

９

$(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+b^3$

１０

$(a-b)(a^2+2ab+b^2)=a^3-b^3$

全く覚えてません！w
右辺左辺を入れ替えると因数分解の公式になる。

■演習

(1)次の式を因数分解せよ。

$x^9-3x^6+3x^3-1$

(2)次の式を展開せよ。

$(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^6-a^3b^3+b^6)$

■解答

(1)

これは公式７が使用できるかな。

$(x^3-1)^3$

→×
不正解！
なんともう一段因数分解できる。え？どこが？

$x^3-1=(x-1)(x^2+x-1)$

公式１０が確かに使える！

(2)

これは乗法公式の９番目が使えるはず。段階的に適用すれば難しくない。

$a^9+b^9$

→○
これは公式通り。

今回は前回ほど苦しまなかったなー、基本的には公式そのままだったし。

ではでは。